行列式在數(shù)學(xué)中，是一個函數(shù)，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標(biāo)量，寫作det(A)或| A|。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用，那么行列式的等價定義是什么？

1、行列式有很多等價定義。等價定義就是你可以拿其中一個作為定義，而另外的就是他的充分必要條件。我可以舉出三個。

2、第一個應(yīng)該是大部分國內(nèi)教材用的。用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2，。。。，pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序數(shù)。n階行列式的值等于對全部的排列p，（-1）^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。。。*a{n，pn}的和。

3、第二個是遞歸定義，一階行列式｜a｜=a，高階行列式按第一行展開，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝對全部k=1，2，。。。，n求和。其中A｛1，k｝為a｛1，k｝的代數(shù)余子式。可以證明這種定義可以推廣成按任意行或列展開且展開的值相等。

4、第三種是從性質(zhì)入手定義。從上面兩個定義來看，行列式可以看成一個n^2個域F元素到域F上的函數(shù)。我們將每一列元素視為一個列向量，即向量空間F^n中的元素，那么行列式是n個F^n中元素到F上的函數(shù)。我們可以這么定義行列式：若F^n到F上的n元函數(shù)f是n重線性標(biāo)準(zhǔn)反對稱的，則f是域F上的行列式。這種定義其實就是從行列式性質(zhì)（列按加拆，整列的系數(shù)可提出，單位矩陣行列式為1，交換列行列式乘-1）出發(fā)倒過來定義行列式，這個定義想要合法必須證明這樣的函數(shù)具有確定性、唯一性，具體證明就不寫了。利用這個定義是可以推出值等同于定義1，2的結(jié)果的，所以是等價定義。

關(guān)于行列式的等價定義是什么內(nèi)容的介紹就到這了。