高斯消元法
我們對(duì)線性方程組可以做如下的三種變換：
（1）將一個(gè)非零常數(shù)
（2）將一個(gè)方程的若干倍加到另一個(gè)方程上；
（3）交換兩個(gè)方程的位置。

我們將線性方程組的這三種變換稱(chēng)之為線性方程組的初等變換。對(duì)方程組做初等變換得到的新的線性方程組與原來(lái)的線性方程組是同解的。易知，對(duì)線性方程組做初等行變換等價(jià)于對(duì)增廣矩陣做相應(yīng)的初等行變換。
注：由于齊次線性方程組的常數(shù)項(xiàng)恒為零，我們?cè)趯?duì)其做初等變換時(shí)只需對(duì)它的系數(shù)矩陣做相應(yīng)的初等行變換。

高斯消元法
我們對(duì)線性方程組做初等變換的目的是為了將其化為與之同解的如下形式的線性方程組：

在該方程組中，每一個(gè)方程都至少比上一個(gè)方程少一個(gè)未知量，這種方程稱(chēng)為階梯型方程。在階梯型方程組中，每一行的第一個(gè)未知量稱(chēng)為主元，其余的未知量稱(chēng)為自由變量。階梯型方程組的解是比較容易求得的。

利用高斯消元法求解線性方程組就等價(jià)于利用初等行變換將線性方程組的增廣矩陣化為階梯型矩陣。再將最后的增廣矩陣還原為線性方程組同樣可以求出原方程組的解。不難看出該求解過(guò)程更為簡(jiǎn)潔。